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Artifex - © 2003
( Adaptación de la Web www.dibujotecnico.com.
Bartolomé López Lucas.
Nota: Los colores del texto están relacionados
con los colores utilizados en el dibujo, por tanto,
el primer paso es siempre el rojo, el segundo el azul,
y el último es el verde,)
La construcción de polígonos dentro de una
circunferencia consiste en dividirla en un número
determinado de partes iguales. Por tanto, siempre partiremos
de una circunferencia que contendrá el polígono
que deseamos.
Cuando en una construcción obtenemos el lado
del polígono, y hemos de llevarlo sucesivas veces
a lo largo de la circunferencia,no hay que marcar todos
los lados en un mismo sentido, sino marcar la mitad
por un lado y la otra mitad por el otro, pues cada vez
que colocamos el compás o marcamos con el lápiz
cometemos pequeños errores.
, TRIÁNGULO,
HEXÁGONO Y DODECÁGONO (construcción
exacta)
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Comenzaremos marcando
un diametro horizontal 1-4 y otro vertical A-B,
que se cruzan en el centro de la circunferencia
O y la dividen en 4 partes iguales.
A continuación, con centro en 1 y
radio 1-O, marcamos los puntos 2 y 6. Repetimos
la operación desde 4 para marcar los puntos
3 y 5.
Finalmente, con centro en B y radio A-O,
marcamos el punto C.
En todas estas operaciones no hemos modificado
la apertura del compás, que sigue manteniendo
la apertura con la que marcamos la circunferencia.
Por eso es aconsejable utilizar un modelo que
permita bloquear la apertura.
Uniendo los puntos 2, 4 y 6, obtendremos el triángulo
inscrito. Uniendo los punto 1, 2, 3, 4, 5 y 6,
obtendremos el hexágono inscrito. Y uniendo
los puntos 3 y C, obtendremos el lado del dodecágono
inscrito; para su total construcción solo
tendríamos que llevar este lado, 12 veces
sobre la circunferencia.
De los tres polígonos, solo el dodecágono admite
la construcción de estrellados, concretamente
del estrellado de 5. El hexágono admite
la construcción de un falso estrellado,
formado por dos triángulos girados entre
sí 60º.
NOTA: Todas las construcciones de este
ejercicio se realizan con una misma abertura del
compás, igual al radio de la circunferencia
dada. |
CUADRADO Y OCTÓGONO (construcción
exacta)
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Comenzaremos marcando un diametro horizontal
1-5 y otro vertical 7-3, que se cruzan en el centro
de la circunferencia O y la dividen en 4 partes
iguales.
A continuación, trazaremos las bisectrices
de los cuatro ángulos de 90º, formados
por la diagonales trazadas, dichas bisectrices nos
determinarán sobre la circunferencia los
puntos 2, 4, 6 y 8.
Uniendo los puntos 1, 3, 5 y 7, obtendremos el cuadrado
inscrito. Y uniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7 y 8, obtendremos el octógono inscrito.
El cuadrado no admite estrellados. El octógono
sí, concretamente el estrellado de 3. El
octógono también admite la construcción
de un falso estrellado, compuesto por dos cuadrados
girados entre sí 45º.
NOTA: De esta construcción
podemos deducir, la forma de construir un polígono
de doble número de lados que uno dado. Solo
tendremos que trazar las bisectrices de los ángulos
interiores del polígono dado, y estas nos
determinarán, sobre la circunferencia circunscrita,
los vértices necesarios para la construcción.
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PENTÁGONO Y DECÁGONO
(construcción exacta)
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Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares
entre sí, que nos determinarán sobre
la circunferencia dada los puntos A- B y 1-4 respectivamente
. Con el mismo radio de la circunferencia
dada trazaremos un arco de centro en A, que nos
determinará los puntos D y E sobre la circunferencia,
uniendo dichos puntos obtendremos el punto F, punto
medio del radio A-O
Con centro en F trazaremos un arco de radio F-1,
que determinará el punto G sobre la diagonal
A-B. La distancia 1-G es el lado de pentágono
inscrito, mientras que la distancia O-G es el lado
del decágono inscrito.
Para la construcción del pentágono
y el decágono, solo resta llevar dichos lados,
5 y 10 veces respectivamente, a lo largo de la circunferencia.
El pentágono tiene estrellado de 2. El decágono
tiene estrellado de 3, y un falso estrellado, formado
por dos pentágonos estrellados girados entre
sí 36º.
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HEPTÁGONO
(construcción aproximada)
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Comenzaremos trazando una diagonal de la
circunferencia dada, que nos determinará
sobre ella puntos A y B.
A continuación, con centro en A, trazaremos
el arco de radio A-O, que nos determinará,
sobre la circunferencia, los puntos 1 y C, uniendo
dichos puntos obtendremos el punto D, punto medio
del radio A-O. En 1-D habremos obtenido el lado
del heptágono inscrito.
Solo resta llevar dicho lado, 7 veces sobre la circunferencia,
para obtener el heptágono buscado. Como se
indicaba al principio de este tema, partiendo del
punto 1, se ha llevado dicho lado, tres veces en
cada sentido de la circunferencia, para minimizar
los errores de construcción.
El heptágono tiene estrellado de 3 y de 2.
NOTA: Como puede apreciarse
en la construcción, el lado del heptágono
inscrito en una circunferencia, es igual a la mitad
del lado del triángulo inscrito. |
ENEÁGONO (construcción aproximada)
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Comenzaremos trazando dos diámetros perpendiculares,
que nos determinarán, sobre la circunferencia
dada, los puntos A-B y 1-C respectivamente.
Con centro en A, trazaremos un arco de radio
A-O, que nos determinará, sobre la circunferencia
dada, el punto D. Con centro en B y radio B-D, trazaremos
un arco de circunferencia, que nos determinará
el punto E, sobre la prolongación de la diagonal
1-C. Por último con centro en E y radio E-B=E-A,
trazaremos un arco de circunferencia que nos determinará
el punto F sobre la diagonal C-1. En 1-F habremos
obtenido el lado del eneágono inscrito en
la circunferencia.
Procediendo como en el caso del heptágono,
llevaremos dicho lado, 9 veces sobre la circunferencia,
para obtener el heptágono buscado.
El eneágono tiene estrellado de 4 y de 2.
También presenta un falso estrellado, formado
por 3 triángulos girados entre sí
40º.
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DECÁGONO (construcción exacta)
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Comenzaremos trazando dos diámetros
perpendiculares, que nos determinarán, sobre
la circunferencia dada, los puntos A-B y 1-6 respectivamente.
Con centro A, y radio A-O, trazaremos
un arco que nos determinará los puntos C
y D sobre la circunferencia, uniendo dichos puntos,
obtendremos el punto E, punto medio del radio A-O.
A continuación trazaremos la circunferencia
de centro en E y radio E-O. Trazamos la recta 1-E,
la cual intercepta a la circunferencia anterior
en el punto F, siendo la distancia 1-F, el lado
del decágono inscrito.
Procediendo con en el caso del heptágono,
llevaremos dicho lado, 10 veces sobre la circunferencia,
para obtener el decágono buscado.
El decágono como se indicó anteriormente
presenta estrellado de 3, y un falso estrellado,
formado por dos pentágonos estrellados, girados
entre sí 36º.
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PENTADECÁGONO (construcción exacta)
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Esta construcción se basa en la obtención
del ángulo de 24º, correspondiente al
ángulo interior del pentadecágono.
Dicho ángulo lo obtendremos por diferencia
del ángulo de 60º, ángulo interior
del hexágono inscrito, y el ángulo
de 36º, ángulo interior del decágono
inscrito.
Comenzaremos con las construcciones
necesarias para la obtención del lado
del decágono (las del ejercicio anterior),
hasta la obtención del punto H de la figura.
A continuación, con centro en C trazaremos
un arco de radio C-H, que nos determirá sobre
la circunferencia el punto 1. de nuevo con centro
en C, trazaremos un arco de radio C-O, que nos determinará
el punto 2 sobre la circunferencia.
Como puede apreciarse en la figura, el ángulo
CO1 corresponde al ángulo interior del decágono,
de 36º, y el ángulo CO2 corresponde
al ángulo interior del hexágono, de
60º, luego de su diferencia obtendremos el
ángulo 1O2 de 24º, ángulo interior
del pentadecágono buscado, siendo el segmento
1-2 el lado del polígono. Solo resta llevar,
por el procedimiento ya explicado, dicho lado, 15
veces sobre la circunferencia dada.
El pentadecágono presenta
estrellado de 7, 6, 4 y 2, así como tres
falsos estrellados, compuesto por: tres pentágonos
convexos, tres pentágonos estrellados y 5
triángulos, girados entre sí, en todos
los casos, 24º. |
PROCEDIMIENTO GENERAL (construcción
aproximada) Método de Rinaldini
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Este procedimiento se utilizará solo
cuando el polígono buscado no tenga una construcción
particular, ni pueda obtenerse como múltiplo
de otro, dado que este procedimiento lleva inherente
una gran imprecisión.
Comenzaremos con el trazado
del diámetro A-B, que dividiremos, mediante
el Teorema de Tales en tantas partes iguales como
lados tenga el polígono que deseamos trazar,
en nuestro caso 11.
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Con
centro en A y B trazaremos dos arcos de radio
A-B, los cuales se interceptarán en los
puntos C y D. Uniendo dichos puntos con las divisiones
alternadas del diámetro A-B, obtendremos
sobre la circunferencia, los puntos P, Q, R, ..
etc., vértices del polígono. Igualmentre
se procedería con el punto D, uniendolo
con los puntos 2, 4, etc., y obteniendo así
el resto de los vértices del polígono.
Solo restaría unir dichos puntos para obtener
el polígono buscado.
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Ver Polígonos I
Ver Polígonos III
Ver Renaldini
Ver Roriczer
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