(www.counton.org/explorer/circles/symmetry.shtml.
Traducción del inglés por Miquel Ramis)
Los cicloides son unas curvas que se
forman siguiendo la senda de un punto fijo cuando un
círculo gira alrededor de otra curva. Se obtienen
diseños más interesantes si los circulos
rotan dentro de otros círculos:
En esta configuración el círculo de la
izquierda gira alrededor de un centro fijo. El segundo
círculo se mueve con su centro rodando sobre
el borde del primero.
El punto fijo en la periferia del segundo
círculo vá describiendo círculos
a su vez, representados en el tercer círculo.
El pintor Alberto
Durero creó un instrumento para dibujar estas
curvas y lo describió en su libro " el manual
del pintor", escrito al final del siglo XV.
Variables
La configuración básica
( tres círculos) tiene un número de opciones
que pueden cambiar. Cada opción es una variable
que modifica la curva creada por los círculos
que rotan mientras seguimos el recorrido de un punto
fijo en el círculo exterior:
1. El ratio relativo de los rádios
de los círculos;
2. El promedio relativo al cual cada
uno rota;
3. La dirección relativa en la
cual ellos giran;
4. La diferencia de fase entre cada
rotación, es decir, las posiciones relativas
de partida.
El valor de cada variable y su relación con las
demás determinan la curva resultante. La variable
más importante es el promedio al cual cada uno
gira. Esto determina la simetría de la curva.
Las otras variables alteran la forma de la curva.
El efecto de cambiar la rotación
relativa de los círculos
Hay aquí una auténtica
sorpresa a medida que sorprendentes simetrías
emergen de las curvas resultantes. En este caso
nos referimos a simetría circular respecto
a un punto. En la siguiente, los radios y promedios
relativos de roptación se dan de ixquierda
a derecha. En este primer ejemplo, los radios
de los radios son 12:7:4 y el ratio de los promedios
de rotación son 1:6:11, todos en la mísma
dirección. La sorpresa que aparece aquí
es esta simetría de 5 pliegues:
|
|
| En el próximo ejemplo, los ratios son 5
: 2.5 :1 y 1 : 7 : 19, nuevamente todos en la mísma
diorección. Esta vez aparece una simetría
de 6 : |
|
| En este ejemplo, los ratios son 6 : 3 :1 y 2 :
7 : 22, de nuevo todos en la mísma dirección,
con otra simetría de 5: |
|
| Ahora investigaremos el efecto
de cambiar la dirección de la rotación
de uno de los círculos. Vamos a invertir
la dirección del círculo más
pequeño, el exterior. Esto produce una curva
que es extremadamente cóncava cuando los
tatios son 4 : 2 :1 y 1 : 8: -20. El signo de menos
indica que el círculo rota en la dirección
opuesta a aquellos que tienen rotación positiva.
Esta vez aparece una simetría de 7: |
|
De donde procede la simetría? No es
obvio, pero es el resultado de los promedios relativos
de rotación. Tomemos el primer ejemplo
donde los promedios están en el ratio 1:6:11
y todos en la mísma dirección. Notemos
que la diferencia en los promedios sucesivos es
5, o más correctamente, todos los promedios
dejan un resto de 1 al dividirlos por 5. Matemáticamente,
( en lenguaje de la teoría de números)
esto se llama congruencia aritmética y
1, 6 and 11 se dice que son congruentes con módulo
5 o más simbólicamente:
1 = 6 = 11 (mod 5)
Pensemos en ello como la atimética
"del reloj". Podemos trucar la fuente
de la simetría mirando las rotaciones relativas
de cada círculo al medida que la curva
progresa.Todos los datos que necesitamos están
en la tabla adjunta. El "Bearing" es
la dirección de la línea del centro
de cada uno de los círculos al punto correspondiente
en ese círculo. Se encuentra dividiendo
el total de la rotación por 360 y luego
mirando el remamente ( este es justo el valor
del ángulo mod (360)):
|
|
Como puedes ver, tras cada quinto de
rotación cada punto tiene el mismo bearing, manteniendo
así la simetría.
En el ejemplo 2, teníamos radios
de 1 : 7 : 19, todos en la mísma dirección.
Hay ula simetría de 6 pliegues, porque todos
ellos son congruentes con a 1 mod(6).
En el ejemplo 3, con ratios 2 : 7 :
22, hay una simetría de 5, ya que todos son congruentes
con 2 mod(5).
Ejemplo 4, has the point on one circle
rotating in the opposite direction with relative rates
1 : 8: -20. The rates are congruent to 1 mod(7). The
quantity -20 is dealt with like this: -20 divided by
7 gives a remainder of -6, so add 7 to get a value of
1. (You can think of this in clock terms: -3 hours from
midnight is 9 o'clock since 12-3 = 9.)
For intermediate points, or ones where
the starting point means there is a phase difference
(see below), then there is simply a fixed angle added
each time and the relative bearings remain constant.
When the points always start with the same bearing (that
is there is no phase difference) then the symmetry is
always reflective point symmetry.
El efecto de cambiar los radios
relativos de los círculos
Changing the relative sizes of
the radii obviously alters the shape of the curve.
Unlike the cycloids however (*** link to cycloids.doc)
there is no a range of curves like the prolate
and curtate cycloids obtained by tracing paths
of a fixed point placed somewhere along an extended
radius. That is because the centre of the circles
turn and to look at such a path would be equivalent
to looking at the same configuration in which
the outer circle had a different radius.
If in example 1 the relative radii
are changed, but the rates are kept at 1:6:11,
all in the same direction, the 5-fold symmetry
remains, but the shape of the loops change. The
ratio in the first example above was 12:7:4; we
change this to 12:4:7, which means the size of
the outer two circles is swapped, then the loops
move towards the centre: |
|
| If this is changed again to make
the middle circle the largest, with a ratio of 4:12:7,
then the loops even closer towards the centre: |
|
| With equal radii, the effect is
a very attractive symmetry: |
|
El efecto de añadir
una diferencia de fase
In the examples above, the centre
of each circle and the point being traced all
lie in a line. Adding a phase difference - when
the fixed point is initially off the common line
of centres - does not alter the symmetry, but
it does change the appearance of the curve.
Adding a phase difference to example
4 so that the centre of the middle circle
starts 50° around the inner circle causes the
shape of the curve to have a twist, but they are
still recognisable as belonging to the same family:
|
|
| In example 6 if the centre of the
middle circle starts with a phase of 90° and the
outer one with a phase of -90°, then the result
is to open out the central pentagon: |
|
| Opening out the curves by using
phase changes is a way that we can see features
of the curves that are otherwise hidden from view.
Thus in example 5 if the middle circle centre starts
with a phase of 90° and the outer one with a phase
of -45°, the result is a curve that reveals its
complicated yet delicate structure: |
 |
|
