(Texto de la edición de Editorial Iberia. Barcelona 2000. Comentarios y dibujo por Miguel Ramis)

Introducción

"...En primer lugar, de entre las muchas demostraciones utilísimas de Platón, expondré una sola como él mísmo la desarrolló:

Si hubiera una superfície o un campo que fuera rectangular; de lados iguales, y cuya magnitud se quisiera duplicar, como no es posible hallar la solución por una multiplicación aritmética, se ha de obtener por un elegante trazado de líneas. Su demostración es ésta:

Una superfície cuadrada que tuviera de largo y de ancho 10 pies, dá un área de 100 pies; ahora bien, si se tuviera que duplicar, es decir, obtener un área tambien cuadrada pero de 200 pies con lados iguales, se tendría que averiguar que dimensión habría que dar al lado de este cuadrado para que, multiplicado por sí mismo, nos diese los 200 pies de superfície.

Con números es imposible hallarlo; porque si se hicieran los lados de 14 pies, su multiplicación daría 196 pies cuadrados; si se hiciesen de 15 pies, daría 225. De modo que, no pudiendo resolverlo con números, se traza en este rectángulo de 10 pies de largo y 10 de ancho una diagonal de ángulo a ángulo, para que quede dividido en 2 triangulos de 50 pies cuadrados cada uno; y sobre la longitud de esta diagonal, se traza un área rectangular de lados iguales, de modo que si han sido 2 los triangulos de 50 pies de superficie, limitados por la diagonal del cuadrado pequeño, serán 4 los triangulos de 50 pies cada uno inscritos en el cuadrado levantado sobre la diagonal.

De este modo halló Platón, con una demostración geométrica, la duplicación del cuadrado, como lo demuestra la correspondiente figura.."

Notas :

(1) Ver Cuaderno de Honnecourt ( s XVIII) en donde se explica la mísma técnica.

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